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Initiation à la géometrie de Riemann

Louvrage sadresse aux étudiants du master de mathématiques et au-delà, ainsi quà tous ceux qui souhaitent sinitier à la géométrie de Riemann en vue de létude ultérieure de textes plus avancés, soit vers des développements mathématiques récents, soit vers lutilisation en physique (relativité générale notamment). Les prérequis se limitent à une bonne familiarité avec le calcul différentiel, à quelques notions de topologie générale et aux premiers théorèmes généraux sur les équations différentielles. La géométrie riemannienne est avant tout loeuvre de Carl Friedrich Gauss et de Bernhard Riemann, chacun de ces deux grands mathématiciens ajoutant une pierre fondatrice nouvelle au magnifique édifice. Ce chapitre mathématique est aussi la porte dentrée vers toutes les théories qui tentent dexpliquer la géométrie et les lois de lunivers. Lauteur du présent livre, mathématicien, est aussi astronome amateur, enclin à sintéresser aux questions qui intriguent et fascinent en la matière ses collègues et ses étudiants, entre autres lexpansion de lunivers et le big bang. François Rouvière nous invite ici à un vrai voyage, que lon accomplira avec lui sans quitter notre propre chambre. Il nous apprend à marcher tout droit sur une surface, à bien regarder sous nos pieds, il nous montre comment éviter de tomber dans le golfe de Gênes, comment nous diriger malgré les inexactitudes de nos cartes (sans pour autant, bien sûr, brûler tous nos atlas), comment nous instruire dans le transport parallèle. Il nous explique à loccasion quelques lois de loptique, dont le secret des mirages. Partant du cas intuitif et instructif des surfaces, dont létude occupe la première moitié du livre, et où lon découvre les nombreux avatars de la courbure, le remarquable Theorema Egregium et la formule de Gauss-Bonnet, lauteur nous fait entrer ensuite dans la dimension supérieure, nous apprend ce quest une variété, le flot dun champ de vecteurs et nous prépare progressivement à accueillir sans peine la miraculeuse connexion riemannienne et, à partir de là, les géodésiques puis, dans leur sillage, lapplication exponentielle en géométrie riemannienne et, en particulier, dans les groupes de Lie. La courbure apparaît enfin dans ce cadre élargi, et de deux manières, sous la forme du tenseur de Riemann. Les exemples concrets sont les supports de la pensée et les espaces à courbure constante, qui possèdent beaucoup disométries, nous en offrent, aux côtés des espaces euclidiens deux exemples encore plus beaux, en loccurrence les espaces hyperboliques et ceux de la géométrie sphérique. Avec les pionniers Janos Bolyai et Nikolaï Lobachevsky, avec Eugenio Beltrami, Felix Klein et sa boule, Henri Poincaré et sa propre boule à lui, Einstein et sa relativité générale, nous aurons comme compagnons de voyage une jet set très particulière. Plus dune cinquantaine dexercices consistants, à la solution détaillée, sont là pour aller plus loin et soutenir notre compréhension par des exemples fondamentaux et variés.

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TAILLE DU FICHIER 3.96 MB
ISBN 9782916352497
AUTEUR François Rouvière
FICHIER Initiation à la géometrie de Riemann.pdf
DATE 05/05/2020

Initiation à la géometrie de Riemann François ROUVIERE Initiation à la géometrie de Riemann écrit par François ROUVIERE, éditeur CALVAGE ET MOUNET, livre neuf année 2016, isbn 9782916352497. La littérature en langue française est assez peu fournie sur le sujet. L'auteur propose une approche progressive du sujet en partant du cas des